深夜だし数学の問題出し合おうぜ

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1以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:21:25.752ID:K8I2bmkMa
単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ

2以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:21:42.705ID:K8I2bmkMa
はい

3以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:22:11.367ID:K8I2bmkMa
誰か問題出してみ

4以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:22:23.945ID:Doh4dl3V0
ケーキを100000000000000000000とうぶんするにはどうすればよいか

5以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:23:16.616ID:K8I2bmkMa
>>4
プラズマに分解すればおk

6以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:24:21.657ID:K8I2bmkMa
はい

7以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:24:57.894ID:K8I2bmkMa
人いない...

8以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:25:56.848ID:K8I2bmkMa
φ

9以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:26:38.114ID:K8I2bmkMa
ふぁふぁふぁふぁふぁいいいい!!!

10以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:28:43.146ID:DyErbwfI0
答えはすごく簡単だお
1+1は?

11以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:29:09.057ID:K8I2bmkMa
>>10
すごく簡単

12以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:29:35.874ID:QGfLgfVm0
3の倍数でも4の倍数でもない正の整数を小さい順に a_1,a_2,a_3,… とする
Σ{k=1 to 2018} a_k を求めよ

13以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:29:52.783ID:DyErbwfI0
>>11
お前は今日一日きっといいことがあるだろう

14以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:34:10.527ID:XjG3hjMa0
幾何的に解くの苦手だから計算でゴリ押そうと思ったけどめんどい

15以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:35:01.457ID:D3L+kY7c0
適当だけど
1/2+5√3/8

16以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:36:38.103ID:myM2xcQUd
>>12
1+2+………+2018ー3ー6ー………ー2016ー4ー8ー………ー2016+12+24+………2016?

17以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:38:10.478ID:6G6o4u5w0
x=1+9+3

18以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:40:14.409ID:mxrAfHWzp
12n+1, 12n+2, 12n+5, 12n+7, 12n+10, 12n+11
の話をひとかたまりとしてn=0 to 336を計算して残りの2027番目、2028番目を追加

19以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:41:08.365ID:D3L+kY7c0
違うわ、5/3

20以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:42:49.288ID:K8I2bmkMa
>>12
a_{2018}=xとおくと,
x-[x/3]-[x/4]+[x/12]=2018
からx=4036

1から4036までの和は8146666で

さらに4036までの3の倍数の和は2715555
4の倍数の和は2038180

3の倍数かつ4の倍数,つまり12の倍数の和は679392

したがって求める和は8146666-2715555-2038180+679392=4072323

21以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:44:58.039ID:K8I2bmkMa
>>15
不正解です 
そこまで小さくはなりません

>>19
もう少し小さくできます

22以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:47:14.370ID:QGfLgfVm0
>>20
正解
想定解は>>18

23以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:48:14.980ID:K8I2bmkMa
>>22
えまじで正解? 割りと計算を雑にやってたけど合っとったか

24以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:49:19.251ID:K8I2bmkMa
>>18
なるほど たしかにこっちのほうが頭いいな

25以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:50:46.420ID:myM2xcQUd
15/8

26以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:51:38.681ID:NEKQixNG0
新垣結衣「わたしのちんこの長さを求めよ」

27以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:51:50.674ID:+T98wO/td
>>18
美しい………

28以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:52:42.144ID:K8I2bmkMa
>>25
>>1のことなら違います
もっと小さくできます

29以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:55:00.589ID:QGfLgfVm0

30以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 00:59:11.414ID:tp4QXrK60
>>1
5/3

31以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:02:53.375ID:K8I2bmkMa
>>30
不正解です

ちなみに直線ではないです

32以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:10:04.274ID:tIHnvZtR0
整数 A,B,C に対し、A^2 + B^2 = C^2 となるのは

やはり整数 N,M を用いて (M>=N)

(M-N)^2 + (2MN)^2 = (M+N)^2 の形に限ることを示せ

33以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:12:20.957ID:tIHnvZtR0
出題まちがえたかもしれない

34以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:14:28.742ID:tp4QXrK60
>>1
2本引いていいなら対角から半径√(4/3π)の四分円を描いて長さ√(4/3π)

35以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:20:33.437ID:K8I2bmkMa
>>34
その場合長さはπ√(4/3)で2より大きくなってまうよ

もっと短く出来ます

あと曲線はいくつに分けても大丈夫です

36以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:21:38.872ID:K8I2bmkMa
>>35
ごめんミスです
√(4π/3) でした
でもどのみち2よりは大きい

37以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:33:44.366ID:D3L+kY7c0
2/3+√3/4+π/6

38以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:40:30.011ID:K8I2bmkMa
>>37
おおおおおお!
すごい正解!

39以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:41:26.797ID:XjG3hjMa0
どう解くのさ

40以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:42:43.992ID:D3L+kY7c0
やったー
分岐点が120°ずつに分かれるだろうことは予想できたけど円弧が出てくるのは想像できなかった
これが最小ってのは証明できるの?かなり予想で解いてるから

41以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:45:36.923ID:K8I2bmkMa
>>40
予想が立つだけでもすごい

厳密な証明方法は 曲線の第一変分から最小曲線の曲率は局所一定であることがわかって
フレネ・セレの公式から円、もしくは直線の組み合わせしかないことが分かる

さらにプラトーの法則により分岐角は120°ということも言えてあとは頑張る感じ

42以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:46:36.744ID:K8I2bmkMa
このプラトーの法則は厳密に証明しようとするとどえらい大変

43以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:48:40.545ID:K8I2bmkMa
計算だけならある程度の予想とパズル感覚で解けるけど
真面目に証明しようとすると数学科大学院レベルの技術が必要になる

44以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:50:58.448ID:D3L+kY7c0
フレネセネを知らないけど変分法のさわりを今やってるから頑張ります……

45以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:53:28.705ID:D3L+kY7c0
>>39
半径1,中心角π/6の円弧2つとある線分を組み合わせた形
線分はどっかの辺の中点から垂直に立てる

46以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:54:06.157ID:K8I2bmkMa
>>44
なるほど

とりあえず
面積とか長さを与える汎関数
I[f]=∫_D √(1+|∇f(x)|^2 )dx
の第一変分は平均曲率∇・(∇f(x)/√(1+|∇f(x)|^2 ))
になるってのは覚えて損は無いと思う

47以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:56:23.050ID:XjG3hjMa0
俺の知らない世界だってことは分かった

48以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 01:57:12.669ID:K8I2bmkMa
>>39
図だとこんな形になります
https://i.imgur.com/z41EpfF.jpg

49以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:00:17.660ID:D3L+kY7c0
>>46
ありがとう!

50以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:01:12.873ID:tp4QXrK60
直感的には対称性が高い方が短くなりそうだけど
曲線3つよりも短くなるの?
https://i.imgur.com/ESzJrhO.jpg

51以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:02:43.910ID:PFVHvWtT0
>>46
ああ…中卒の俺にはお前が大天才に見えるぜ……(マブシィッ!)

52以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:03:06.696ID:XjG3hjMa0
>>48
何となく直線の方が短くなりそうに思えるけどいい感じになるのか

53以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:03:14.178ID:K8I2bmkMa
>>50
実は境界は垂直に交わったほうがより短くなることも分かるんだけど
そうすると微妙に対称性が崩れる

54以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:05:55.333ID:tp4QXrK60
変分は面白そうだけど関数解析がむずかちぃ

55以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:07:31.945ID:K8I2bmkMa
>>52
ちなみに線分オンリーの最小値は (8+3√15)/12 = 1.6349
になります
Tに近いY字みたいな感じ

56以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:08:41.049ID:K8I2bmkMa
>>54
確かに関数解析の知識は大前提だね
特にソボレフの埋蔵定理とかそのあたりは良く使います

57以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:14:34.129ID:Y+hoWHB70
作用素環は面白いけど微分が絡む関数解析は泥臭くてそんなに好きじゃない

58以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:21:13.215ID:PFVHvWtT0

_
D

|

^

せめてこれらの象形文字?みたいな記号だけでも誰か教えてくれ

59以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:23:52.687ID:K8I2bmkMa
>>57
確かに泥臭い計算は多いかも
>>58
∫は積分
Dは領域
∇はナブラ演算子
∇f=(∂f/∂x_1,∂f/∂x_2,...,∂f/∂x_n)

60以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:25:01.182ID:K8I2bmkMa
この問題一般化して
例えば正三角形を5等分とかだと
https://i.imgur.com/hoRxAH6.jpg
こんな感じになってもう完全に対称性が崩れてて面白い

61以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:26:00.090ID:K8I2bmkMa
でもしっかりと分岐点の角度は120°だし境界とは垂直に交わってる

62以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:26:06.306ID:PFVHvWtT0
>>59
ありがとう
_

|

^

それとこの3つは何?一番下は何処かで見た覚えがあるんだけど…忘れた

63以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:26:55.919ID:K8I2bmkMa
>>62
_は添字

|はノルム

^は冪乗

64以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:29:07.779ID:PFVHvWtT0
>>63
ありがとうありがとう

考えてみれば数学を使った論理学もあるらしいからこの機会にほんのちょっとでも勉強しておくか

65以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:36:23.362ID:Y+hoWHB70
関数解析やってそうだしそれに関する問題
A:Banach環 単位元はe
φ:A→C :線形
とすると、以下は同値
(1)φはnonzeroで乗法を保つ
(2)φ(e)=1, φ(x)≠0 for ∀x∈A☓

66以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:42:11.215ID:K8I2bmkMa
>>65
φはnonzeroで乗法を保つってのは

φ(x)≠0 ,φ(y)≠0
なら
φ(xy)=φ(x)φ(y)
ってこと?

67以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:44:24.355ID:Y+hoWHB70
>>66
φは"恒等的に0"ではない
φ(xy)=φ(x)φ(y) ∀x,∀y

68以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:45:57.750ID:K8I2bmkMa
(1)から(2)の証明

φ(e)=φ(ee)=φ(e)^2
よりφ(e)=1,0であるが、e∈(A)^×より
φ(e)=1

また、x∈(A)^×に対して

φ(x)=0と仮定する
xの乗法的逆元をyとすれば

0=φ(x)φ(y)=φ(xy)=φ(e)=1で矛盾

まあ(1)から(2)は群論の基本だから簡単か

69以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:46:54.755ID:K8I2bmkMa
>>67
あー 「で」って「かつ」ってことね

70以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:48:12.955ID:K8I2bmkMa
Hahn-Banachとか使う?

71以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:51:21.606ID:Y+hoWHB70
これだけだとキツいから一応ヒント
(3)φ(x)∈σ(x) ∀x (σ(x)はxのスペクトル)
(4)φ(e)=1, φ(x^2)=φ(x)^2 ∀x
として
(1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1)を示す

72以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:52:57.922ID:Y+hoWHB70
>>70
使わない

73以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 02:55:53.587ID:K8I2bmkMa
>>71
(2)から(3)
φ(φ(x)e-x)=φ(x)φ(e)-φ(x)=0より

φ(x)e-x∈A-A^×より
φ(x)∈σ

74以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:00:16.675ID:K8I2bmkMa
じゃあ俺からも関数解析っぽい問題
というか変分でクソほど使うやつ

Banach空間上の弱収束列は有界列であることを示せ

75以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:04:30.959ID:Y+hoWHB70
双対の双対に一様有界性原理

76以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:06:47.092ID:K8I2bmkMa
>>75
おーすごいさすが

>>71
(3)から(4)前半
φ(e)∈σ(e)={1}より
φ(e)=1

77以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:11:16.615ID:Y+hoWHB70
ここからが本番
(4)⇒(1)はただの代数の問題だからこっち先で良いかも

78以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:20:01.267ID:K8I2bmkMa
>>75
でも地味に双対双対の標準的単射が等長ってのも難しいんよね

79以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:20:47.681ID:Y+hoWHB70
>>78
ハーンバナッハ

80以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 03:26:01.819ID:K8I2bmkMa
>>79
さすが

81以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 04:07:31.400ID:Y+hoWHB70

82以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 04:33:44.043ID:Y+hoWHB70
m

83以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2018/07/24(火) 05:22:27.033ID:Y+hoWHB70

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